By Olaf Steinbach

ISBN-10: 3322800806

ISBN-13: 9783322800800

ISBN-10: 3519005026

ISBN-13: 9783519005025

Die Simulation technischer Prozesse erfordert in der Regel die Lösung von linearen Gleichungssystemen großer size. Hierfür werden moderne vorkonditionierte Iterationsverfahren (z.B. CG, GMRES, BiCGStab) hergeleitet und die zur Realisierung notwendigen Algorithmen beschrieben. Für Systeme mit strukturierten Matrizen werden effiziente direkte Lösungsverfahren angegeben. Neben linearen Gleichungssystemen mit Blockstrukturen werden auch Hierarchische Matrizen zur effizienten Beschreibung und Anwendung vollbesetzter Matrizen behandelt. Alle Verfahren werden an einfachen Beispielen erläutert und diskutiert.

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Andernfalls ist die Steifigkeitsmatrix Ah im allgemeinen als indefinit anzunehmen. 3 Die Losung des Randwerlproblems -ull(x) + u'(x) = 3 - 2X2 fur x E (0,1), u(O) = u(l) = 0 ist wieder durch u(x) = x(l-x) gegeben. 8) ergibt sich fur die Steifigkeitsmatrix Ah bei einer Approximation mit stiickweise linearen Basisfunktionen bezuglich einer gleichmiifJigen Diskretisierung von (0, 1) 4 -3 Ah = 1 2h - -1 4 -1 -3 E lR(n-l)x(n-l). 4. , u(x) = g(x) fUr x Ef = an in einem beschrankten Gebiet n c JR2 mit einer hinreichend glatten Randkurve f = an kann durch das Einfachschichtpotential u(x) = - 2~ [log Ix - ylw(y)dsy fUr x E n r dargestellt werden.

Mh[k, k] = j rpk(x)rpj(x)dx = 0 (Xk-l,Xk+l)n(Xj-l,Xj+1) = 1, ... ,n - Fiir die Diagonaleintrage Mh[k, k] und k jb [rpk(xWdx = a jXk Xk-l Entsprechend ergibt sich fUr k [x - Xk-l ] 2 dx Xk - Xk-l + Xjk+l [ Xk 1 ist Xk+l - x ] 2 d Xk+l - xk X = 0 beziehungsweise k = n Fiir die Nebendiagonalelemente mit j = k ± 1 folgt Fiir eine gleichmaBige Unterteilung mit hk = h fUr k = 1, ... , n ist die Massematrix Mh gegeben durch 2 1 1 4 Mh h 1 1 E IR(n+l)x(n+l). 5) Der Speicherbedarf zur Beschreibung der Massematrix betragt 2+3(n-1)+2 = 3n+1 Nichtnulleintrage, somit ist Mh schwach besetzt.

Eine andere wichtige Klasse bilden die Niedrig-RangStorungen regularer Matrizen. Eine blockweise Anwendung dieser Idee fUhrt spater auf Hierarchische Matrizen, vergleiche hierzu Kapitel 7. 1) = 0, ... , n beziehungsweise der diskreten Sinus-Transformation bk = n-1 2 k· 2: fJ sin ~ j=1 n fUr k = 1, ... 2) betrachtet werden. J j=O fJ·e-i27rkj/n f··ur k = 0, ... , n - 1. 3) Anwendungen dieser Art ergeben sich beispielsweise bei der Interpolation mit Tschebyscheff-Polynomen oder bei der Beschreibung zirkulanter Matrizen.

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by David
4.2

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