By Josef Stoer, Roland Bulirsch

ISBN-10: 3540676449

ISBN-13: 9783540676447

Dieses zweibändige Standardlehrbuch bietet einen umfassenden und aktuellen Überblick über die Numerische Mathematik. Dabei wird besonderer Wert auf solche Vorgehensweisen und Methoden gelegt, die sich durch große Wirksamkeit auszeichnen. Ihr praktischer Nutzen, aber auch die Grenzen ihrer Anwendung werden vergleichend diskutiert. Zahlreiche Beispiele runden dieses unentbehrliche Buch ab.Die Neuauflage des zweiten Bandes wurde vollständig überarbeitet und ergänzt um die Darstellung kontinuierlicher Runge-Kutta-Verfahren für gewöhnliche Differentialgleichungen und um weitere Krylov-Raum-Methoden zur Lösung großer linearer Gleichungssysteme."Das Lehrbuch ... setzt Maßstäbe für eine Numerik-Vorlesung und ist jedem Studenten der angewandten Mathematik zu empfehlen." Die Neue Hochschule

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Krylovr¨aume K i (q, A) := span[q, Aq, . . , Ai−1 q], i ≥ 1, K 0 (q, A) := {0}. K i (q, A) besteht aus allen Vektoren, die von den ersten i Vektoren der Folge {A j q} j≥0 aufgespannt werden. 3 den gr¨oßten Index i, f¨ur den dim K i (q, A) = i gilt, also die Vektoren q, . . , Ai−1 q noch linear unabh¨angig sind. Dann ist Am q von den m Vektoren q, Aq, . . , Am−1 q linear abh¨angig, die eine Basis von K m (q, A) bilden, so daß wegen Am q ∈ K m (q, A) auch gilt AK m (q, A) ⊂ K m (q, A): Der Krylovraum K m (q, A) ist A-invariant, und die lineare Abbildung x → Φ(x ) := Ax bildet K m (q, A) in sich ab.

0 −ln j cond∞ (Ti ) ≤ 4, .. .. B. f¨ur Householdermatrizen: f¨ur sie gilt cond2 (Ti ) = 1. 1) benutzen, werden in den folgenden Abschnitten beschrieben. Als „einfache“ Endmatrix B = Am kann man mit diesen Hilfsmitteln f¨ur allgemeine Matrizen eine obere Hessenberg-Matrix erreichen, die von folgender Gestalt ist: ⎤ ⎡ ∗ · · · · ∗ ·⎥ ⎢∗ · ⎥ ⎢ ·⎥ ⎢0 · · bik = 0, f¨ur k ≤ i − 2. B=⎢ ⎥, ·⎥ ⎢· · · · ⎣ ⎦ · · · · · 0 · · 0 ∗ ∗ 26 6 Eigenwertprobleme Bei Hermiteschen Matrizen A = A H benutzt man zur Reduktion nur unit¨are Matrizen Ti , Ti−1 = Ti H .

R2 die von 0 verschiedenen Eigenwerte von A H A sind, also σ1 , . . , σr die von 0 verschiedenen singul¨aren Werte von A. Wegen σ12 = λmax (A H A) gilt dann σ1 ≥ σ2 . ⊔ ⊓ Die unit¨aren Matrizen U , V in der Zerlegung U H AV = Σ haben folgende Bedeutung: Die Spalten von U geben m orthonormale Eigenvektoren der Hermiteschen m ×m-Matrix A A H an, die Spalten von V n orthonormale Eigenvektoren der Hermiteschen n × n-Matrix A H A. 2). Schließlich sei noch bemerkt, daß man die Pseudoinverse A+ [s.

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by Richard
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