By Robert Plato

ISBN-10: 3834802778

ISBN-13: 9783834802774

Plato R. Numerische Mathematik kompakt (3ed., Vieweg, 2006)(ISBN 3834802778)(de)

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17) dargestellt. Im Folgenden werden die Approximationseigenschaften der interpolierenden trigonometrischen Funktion r beschrieben. 10 Die Funktion f : R → C sei m mal stetig differenzierbar und periodisch der L L¨ange L, und es bezeichne ||g ||2 = ( 0 |g ( x ) |2 dx)1/2 . 17) (mit fj = f ( xj ) ) die Fehlerabsch¨atzung ||r − f ||2 ≤ cm (||f ||2 + ||f (m) ||2 )N −m mit einer gewissen Konstanten cm > 0.

Mit den Notationen pj ( x ) = aj + bj (x − xj ) + cj ( x − xj )2 + dj ( x − xj )3 ∈ Π3 (j = 0, 1, . . , N − 1) erh¨alt man f¨ur j = 0, 1, . . , N − 1 die folgenden Identit¨aten, pj ( xj ) = aj = fj , pj+1( xj+1 ) = 2cj+1 = = sj+1 sj + 6dj hj = pj ( xj+1 ) (j ≤ N − 2) beziehungsweise pj ( xj+1 ) = aj + bj hj + cj h2j + dj h3j = fj sj+1 − sj 2 sj 2 h + hj 2 j 6 ...... 14) darstellt. Die Stetigkeit der ersten Ableitung s erh¨alt man so, pj−1( xj ) = bj−1 + 2cj−1 hj−1 + 3dj−1h2j−1 (∗∗) = bj = pj ( xj ) ( j = 1, 2, .

1 Voruberlegungen ¨ In dem vorliegenden Abschnitt wird die Berechnung interpolierender kubischer Splines behandelt. 9) j = 0, 1, . . , N − 1, f¨ur eine Funktion s : [ a, b ] → R soll in diesem Abschnitt die Frage behandelt werden, wie man die Koefﬁzienten aj , bj , cj und dj f¨ur j = 0, 1, . . , N − 1 zu w¨ahlen hat, damit die Funktion s auf dem Intervall [ a, b ] zweimal stetig differenzierbar ist1 und dar¨uber hinaus in den Knoten vorgegebene Werte f0 , f1 , .