By Carsten Rösnick

ISBN-10: 3658096586

ISBN-13: 9783658096588

ISBN-10: 3658096594

ISBN-13: 9783658096595

Carsten Rösnick legt seiner Arbeit die Frage nach der algorithmischen Komplexität der approximativen Berechnung von Operatoren aus Geometrie, Topologie und research zugrunde. Er betrachtet Operatoren wie Mengendurchschnitt, Projektion, Maximierung, Integration und Funktionsinversion. Der Begriff der Komplexität ist hierbei im rigorosen Sinne von garantierten Laufzeitschranken und asymptotischen Optimalitätsbeweisen zu verstehen. Dazu führt der Autor Kodierungen für Mengen und Funktionen ein und untersucht sie hinsichtlich ihrer (Polynomialzeit-)Äquivalenz, um schließlich in der Bestimmung parametrisierter Komplexitätsschranken für obige Operatoren Verwendung zu finden.

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Anders ausgedrückt: (d) 2b ∈ b(S) für S ∈ K+ in ψ · |K+ -Darstellung (vgl. 3). Beweis. 2. Hat der Punkt q einen Abstand größer 1 von der Menge, d. h. gilt insbesondere φ(q, 00 ) = 0 (also i = n + 1), so führe wie zuvor eine ausschöpfende Suche in Dd5 ∩ B(q, 2b+1 ) \ B(q, 20 ) nach einem Punkt p , minimierend die Abstände zur Menge und zu q, durch. Für die untere Schranke verwende die Gegenspielermengen A0 := 2b ; Ai := A0 ∪ {i} (1 ≤ i ≤ 2b−2 ) . 3 Skalierungsinvarianz 53 Um den relativen Abstand (gemäß Definition von δ rel ) von q := 0 zur Menge (d) Ai (für unbekanntes i) mittels eines ψ · -Namens φ von Ai zu bestimmen, muss A0 von Aj=0 unterschieden werden.

Nähe, als relativer Begriff, bezieht sich auf einen zusätzlich zu q mitgegebenen Radius 2−n . 1): die offene Kugel B(q, 2−n ) schneidet S, oder aber die abgeschlossene Kugel B(q, 2−n ) ist vollständig im Komplement Rd \ S enthalten. 3 In der beschriebenen Form ist ψ jedoch in 2 3 Mit der Notation der Dimension d in Darstellungen von Klassen von Teilmengen des Rd verfahren wir analog zum Kommentar in Fußnote 1, S. 29. Unter anderem in [Wei00, §5] wird positive Information einer Darstellung ξ stets als ξ< (Approximation von unten/innen) und negative als ξ> (dual: Approximation von oben/außen) notiert.

1) q∈D gilt. Eine Näherung für beliebige Mittelpunkte und Radien erhält man durch entsprechendes Verschieben und Skalieren der · -Kugeln. Beachte, dass die 7 Die Aussage gilt noch allgemeiner [Wei00, Thm. 14(2)]: ψ ≡ ψD folgt bereits, sobald die Menge { φ, φ , 0n | |νD (φ) − νD (φ )| < 2−n } rekursiv aufzählbar ist; siehe auch [Wei00, Thm. 11]. 3. 1) mit Überdeckungskonstante k := 2 angenähert. einkodierte Information (Überdeckungskonstante k und das durch die Punkte in D beschriebene Überdeckungsmuster) einzig vom Normenpaar ( · , · ), nicht aber vom Mittelpunkt oder Radius einer · -Kugel abhängt!

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Parametrisierte uniforme Berechnungskomplexität in Geometrie und Numerik by Carsten Rösnick


by William
4.1

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